Jak matematicky popsat svět, který se nechová vždy podle očekávání? Právě touto otázkou se zabývá Miroslav Bulíček z MFF UK. Se svým týmem chce vytvořit nový matematický rámec pro popis chování kapalin i pevných látek – výzkum, na který získal prestižní grant ERC CZ.
Zabýváte se chováním pevných látek a kapalin. Pohybujete se tedy na pomezí matematiky a fyziky, je to tak?
Já se věnuji zejména matematice, konkrétně matematické analýze. Samotný projekt ale bude interdisciplinární. Vedle specialistů na matematickou analýzu se na něm budou podílet i odborníci na numerickou matematiku, vědecké výpočty a matematické modelování, což už je oblast, která má k fyzice mnohem blíž.
Na „našem oboru“ matematické modelování na Matfyzu ostatně dbáme na to, aby naši studenti měli kvalitní fyzikální vzdělání právě proto, že se matematika a fyzika v mnoha směrech prolínají. Já sám jsem ale čistý matematik a věnuji se matematické analýze. Proto spolupracuji s kolegy z dalších oborů, kteří rozumějí fyzice, modelování nebo numerickým výpočtům mnohem lépe než já.
Snažíte se matematicky modelovat chování pevných a kapalných látek?
Zabývám se především parciálními diferenciálními rovnicemi. Ty jsou jedním ze základních matematických nástrojů pro popis chování světa kolem nás. Pomocí těchto rovnic lze popsat obrovské množství procesů – od technických a fyzikálních přes biologické a medicínské až po některé jevy v ekonomii nebo sociálních vědách.
Co vlastně znamená „parciální“?
Začnu ještě o krok zpátky – u diferenciálních rovnic. Důležité je právě slovo diferenciální. Asi prvním příkladem, se kterým se člověk setká už na střední škole, je Newtonův zákon, podle kterého síla souvisí se zrychlením. Zrychlení je vlastně změna rychlosti v čase a v matematice se taková změna vyjadřuje pomocí derivace.
Pokud rovnice obsahuje derivaci pouze podle jedné proměnné, například času, mluvíme o obyčejné diferenciální rovnici. Jakmile ale do hry vstoupí více proměnných (například čas a prostor), používáme parciální diferenciální rovnice. Slovo parciální znamená, že zkoumáme, jak se nějaká veličina mění vždy jen podle jedné proměnné – například jen v čase nebo jen v prostoru. A ostatní proměnné pro tento konkrétní výpočet zatím považujeme za neměnné. Neznamená to ale, že je ignorujeme. Jen si je na chvíli „zmrazíme“, abychom pochopili vliv jedné konkrétní proměnné. Potom stejným způsobem prozkoumáme i ostatní proměnné, a nakonec všechny tyto informace spojíme dohromady do jedné rovnice, která popisuje celý děj.
Já se zabývám právě teoretickými vlastnostmi těchto rovnic. Zajímá mě, zda mají řešení, jestli je řešení jednoznačné, jak se chová nebo zda se za určitých podmínek nemůže „zhroutit“ či přestat dávat smysl.
Jak jste se k tomuto oboru vlastně dostal? Kdy jste zjistil, že se chcete věnovat právě parciálním diferenciálním rovnicím?
To byla dlouhá cesta. Když jsem nastoupil na Matfyz, věděl jsem, že mě zajímá matematika i fyzika, ale ještě jsem netušil, čemu se budu věnovat. Postupně mě začala přitahovat matematická analýza a matematické modelování.
A pak do toho vstoupila i jedna trochu prozaičtější věc. Já totiž nebyl úplně vzorný student, a tak jsem se při výběru diplomové práce musel řídit i tím, kterého vedoucího jsem do té doby stihl nejméně naštvat (smích). Nakonec jsem skončil u Josefa Málka, vedoucího oboru matematické modelování na Matfyzu. Z dnešního pohledu to byla ta nejlepší možná volba.
Co vás na matematické analýze tak zaujalo?
Matematická analýza je krásná v tom, že propojuje mnoho oblastí matematiky. Když se zabýváte parciálními diferenciálními rovnicemi, nestačí rozumět jen jedné disciplíně – potřebujete mít přehled napříč oborem.
Zároveň je to oblast, která propojuje teorii s praxí. Já se věnuji teoretické stránce, ale musím rozumět i tomu, jak se rovnice numericky počítají. Naopak kolegové, kteří vytvářejí numerické modely, potřebují zpětnou vazbu od více teoreticky zaměřených matematiků, zda jejich postupy skutečně odpovídají matematické teorii a zda jsou správné.
Dá se to zjednodušeně popsat tak, že přijdete s matematickou myšlenkou a vaši kolegové ji pomocí výpočtů nebo fyzikálních modelů ověřují?
To zní skoro, jako bych měl samé skvělé nápady (smích). Vizí mám spoustu a je dobře je mít. Jenže ne všechny obstojí v kontaktu s realitou. Právě proto je důležitá spolupráce s fyziky a odborníky na numerické výpočty. Díky nim získávám zpětnou vazbu a zjišťuji, jestli moje představa opravdu funguje, nebo jsem se vydal špatným směrem. Baví mě, když moje práce má alespoň nějakou vazbu na reálný svět.
Většina lidí si asi představuje, že matematik dostane rovnici a hledá její řešení. Vy ale vlastně nejdřív zkoumáte, jestli řešení vůbec existuje a co se za něj dá považovat. Chápu to správně?
Víceméně ano. U jednoduchých rovnic je to poměrně jasné. U složitých parciálních diferenciálních rovnic ale často narazíme na to, že klasické řešení vůbec neexistuje.
Proto matematici zavedli pojem slabé řešení, které umožňuje pracovat i s rovnicemi, jež klasické řešení nemají. Jenže tím vzniká další problém – takových slabých řešení může existovat nekonečně mnoho. A to neodpovídá realitě, protože fyzikální děj by se měl za stejných podmínek téměř vždy chovat jednoznačně.
Mou prací je proto hledat podmínky, za kterých řešení nejen existuje, ale je také jednoznačné a odpovídá skutečnému chování materiálů.
Nebolí vás z toho někdy hlava? Z těch nekonečných možností a slepých cest?
Naopak, mě to právě baví. Protože nikdy dopředu nevíte, jak to dopadne. Nejkrásnější je, když vás matematika sama překvapí. Myslíte si, že výsledek bude vypadat určitým způsobem, ale nakonec z rovnic vyplyne pravý opak. A vy pak musíte přijít na to, proč.
Stejně krásný pocit je, když něco dlouho tušíte, ale nedaří se vám to dokázat. Nosíte ten problém v hlavě, přemýšlíte nad ním, až najednou přijde okamžik, kdy všechno zapadne na své místo. To je opravdu radost.
Můžete uvést příklad z běžného života nebo techniky, kde narážíme na materiály nebo jevy, jejichž chování dnešní matematika zatím neumí dobře popsat?
Přirovnal bych to k zoologické zahradě. Máte spoustu zvířat, každé je ve své kleci a vy víte, jak se chová za běžných podmínek. Jenže pak se něco změní – zvýší se teplota nebo spolu začnou přicházet do kontaktu zvířata, která se dříve nepotkávala. Najednou se začnou dít věci, kterým nerozumíme. A podobné je to i s matematickými modely. Za běžných podmínek fungují dobře, ale v extrémních situacích se jejich chování může změnit způsobem, který zatím neumíme spolehlivě popsat.
Typickým příkladem je proudění vzduchu nebo vody. Dokud je proudění klidné, matematické i numerické modely fungují velmi dobře. Jakmile se ale zvýší rychlost a začne vznikat turbulence, tedy víry a zdánlivě chaotické proudění, dostáváme se na hranici toho, čemu dnes matematika opravdu rozumí.
A tady přichází problém, o kterém jsme mluvili před chvílí. Některé matematické modely totiž připouštějí nekonečně mnoho řešení. Jenže fyzikální realita nemůže proběhnout nekonečně mnoha způsoby najednou.
Právě tím se zabývá můj projekt. Snažíme se najít takové matematické podmínky, které umožní vybrat jediné řešení odpovídající tomu, co skutečně pozorujeme v reálném světě.
Vedle hledání jednoznačných řešení chcete v rámci grantu ERC CZ propojit také matematiku kapalin a pevných látek. Proč je to pro vás tak důležité?
Dlouhodobě mě trápí, že matematika tekutin a matematika pevných látek se rozvíjejí téměř odděleně. Přitom obě oblasti popisují kontinua, tedy látky, které tvoří spojité prostředí. Základní principy jsou velmi podobné, přesto spolu obě komunity spolupracují překvapivě málo. Byl bych rád, kdyby se podařilo vytvořit společný matematický rámec, který by obě oblasti přirozeně spojil.
Když vás tak poslouchám, mám pocit, že jednou z největších výzev nejsou jen samotné matematické problémy, ale i to přiblížit k sobě různé vědecké skupiny. Je těžké přesvědčit kolegy a kolegyně, aby se vydali trochu jiným směrem?
Nepoužil bych slovo přesvědčit. Myslím, že jde spíš o to, že jednotlivé vědecké oblasti jsou do určité míry uzavřené. Každá má svá témata, své postupy a přirozeně se soustředí na to, co sama považuje za důležité.
Někdy proto není jednoduché přimět lidi, aby se začali zabývat něčím, co je mimo jejich obvyklý způsob uvažování. A to platí i pro mě. I já si musím dávat velký pozor, abych nezůstal uzavřený ve své vlastní bublině. K tomu je dobré vyjíždět ven. Člověk získá mnohem rychleji zpětnou vazbu a snáz si ověří, že jde správným směrem.
Během své kariéry jste působil na zahraničních univerzitách, například v Bonnu nebo ve Varšavě, spolupracujete také s Oxfordskou univerzitou. Jak si Matfyz stojí vedle špičkových zahraničních pracovišť?
Jednou z našich velkých výhod je, že česká škola parciálních diferenciálních rovnic má ve světě velmi dobré jméno. Když přijedete na zahraniční pracoviště, lidé už vědí, odkud jste. Nemusíte si svou pozici složitě budovat od nuly. Velkou zásluhu na tom měl profesor Jindřich Nečas, který u nás v 70. a 80. letech vybudoval silnou školu parciálních diferenciálních rovnic a získal jí mezinárodní respekt. Měl jsem štěstí, že jsem se dostal do této vědecké linie. Mým školitelem byl jeho žák, takže jsem vlastně jeho „vědecký vnuk“. Což v zahraničí skutečně otevírá dveře.
V čem spočívá síla Matfyzu dnes?
Pokud bych byl český student a chtěl studovat matematiku, Matfyz by pro mě byl jednoznačnou volbou. Myslím si, že naše bakalářské a magisterské studium je opravdu velmi kvalitní. Když porovnávám studující ze zahraničí s těmi našimi, mám pocit, že čeští mají hlubší matematické základy. To platí i ve srovnání s řadou západních univerzit, kde mají studenti často širší rozhled, ale nejdou tolik do hloubky.
Samozřejmě to má i svou odvrácenou stranu. My se někdy až příliš soustředíme na jednotlivé části matematiky a může nám chybět větší nadhled nebo propojení s dalšími oblastmi. Proto jsem rád, že mohu působit právě v oblasti matematického modelování, kde se – jak pevně věřím – snažíme studentům ukazovat přesně ty širší souvislosti, které jim občas chybí.
| doc. RNDr. Miroslav Bulíček, Ph.D. |
| Působí na Katedře matematické analýzy Matematicko-fyzikální fakulty Univerzity Karlovy. Zabývá se zejména teorií parciálních diferenciálních rovnic a jejich využitím při popisu chování kapalin a pevných látek. Za projekt Aktivované materiály: Cesta k dobře definovaným parciálním diferenciálním rovnicím v termodynamice kontinua získal grant ERC CZ, který podpoří jeho výzkum v příštích pěti letech částkou 55,6 milionu korun. Během své kariéry působil mimo jiné na Bonnské univerzitě a Varšavské univerzitě, spolupracuje mimo jiné také s Oxfordskou univerzitou. Je autorem téměř stovky odborných publikací v prestižních mezinárodních časopisech. Ve svém výzkumu se snaží najít matematické modely, které co nejvěrněji popisují chování reálného světa. |
